Модуль 4.2

Задачи по стереометрии

Задание №3 .

Задача №3 ЕГЭ по математике — это стереометрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов). Несложное задание по стереометрии на применение основных формул, связанных с вычислением площадей поверхностей или объёмов многогранников (пирамид и призм) или тел вращения (цилиндров, конусов, шаров), в том числе вписанных или описанных около других многогранников или тел вращения.

Для решения задачи достаточно знать формулы площадей поверхности и объёмов пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия, важно увидеть какую формулу необходимо применить.

Задания № 8 с кратким ответом можно (достаточно условно) разделить на две группы:

первая — вполне традиционные несложные задачи на вычисление углов, расстояний, площадей поверхности и объёмов, вторая — задачи, которые в определённой степени можно считать заданиями с практическим содержанием. В последних обычно требуется ответить на вопросы, связанные с изменением площади, объёма или массы тела при изменении его линейных размеров (например, ответить на вопрос о массе шарика, сделанного из того же материала, что и шарик вдвое меньшего радиуса, если масса меньшего шарика известна), а также найти площадь поверхности или объём невыпуклого

многогранника, все двугранные углы которого прямые (например, многогранника, напоминающего пьедестал почёта).

Для того чтобы успешно решить задачи первой группы, нужно уметь решать стандартные задачи на правильные пирамиды и призмы, тела вращения и некоторые несложные задачи на произвольные пирамиды или наклонные призмы, в сущности проверяющие владение основными понятиями, определениями и теоремами.

Задачи на вычисление площадей и объёмов фигур при изменении их размеров составляют довольно значительную часть банка заданий ЕГЭ по математике с кратким ответом. Для решения этих задач достаточно понимать, как изменится площадь плоской

фигуры определённого вида (треугольника, параллелограмма, круга) при изменении линейных размеров этой фигуры и как изменится площадь поверхности или объём пространственного тела при изменении размеров этого тела.

Начнём с ответа на самый простой вопрос: как изменится площадь треугольника, если одну из его сторон изменить в k раз, а высоту, проведённую к ней, оставить неизменной? Ответ здесь очевиден и, вообще говоря, не требует даже рисунка: если сторона треугольника изменится в k раз, то и площадь этого треугольника изменится в k раз. Это следует из того, что высота, проведённая к этой стороне как к основанию

треугольника, останется прежней, а основание изменится в k раз. Значит, и площадь треугольника изменится в k раз.